Matematica e musica (01)

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Published on: 20 October 2007

La trasposizione diretta della matematica in musica, di solito produce dei risultati abbastanza banali. C’è però qualche eccezione. Una è questa.

  1. Si calcolano le prime n (poniamo 100) cifre di un numero trascendente, uno di quei numeri non riducibili a frazione che hanno infinite cifre dopo la virgola, come π (pi-greco), φ (phi, la sezione aurea) o e (la base dei logaritmi naturali).
    In questo caso, usiamo la sezione aurea φ (phi). Il risultato è
    1.61803398874989484820458683436563811772030917980576
    286213544862270526046281890244970720720418939113748
  2. Si prendono le cifre così come sono, senza badare al punto decimale, cioè
    1,6,1,8,0,3,3,9,8,8,7,4,9,8,9,4,8,4,8,2,0,4,5,8,6,8,3,4,3,6,5, … etc.
    Questa sarà la nostra base per produrre altezze e durate. L’idea è che la generazione delle cifre decimali in questi numeri non è del tutto casuale. Infatti le cifre non hanno la stessa distribuzione, ma soprattutto la serie è ricca di ripetizioni, configurazioni ripetute, etc.
  3. Per ottenere le altezze, trasformiamo le nostre cifre in note con una codifica. Poniamo 1 = LA basso del piano e saliamo per semitoni. Quindi il DO più basso sarà 4 e poi, per ottave, gli altri DO saranno 16, 28, 40, 52, 64, 76, 88.
  4. Ora, riscaliamo l’intera serie, che va da 0 a 9, in modo che il minimo (0) corrisponda a 40 (C3) e il massimo (9) a 64 (C5). Otteniamo seguente serie di note:
    42,56,42,61,40,48,48,64,61,61,58,50,64,61,64,50,61,50,61,45,40, … etc
    In generale, risulta che

    • 0 = 40 = C3
    • 1 = 42 = D3
    • 2 = 45 = F3
    • 3 = 48 = G#3
    • 4 = 50 = A#3
    • 5 = 53 = C#4
    • 6 = 56 = E4
    • 7 = 58 = F#4
    • 8 = 61 = A4
    • 9 = 64 = C5

    Naturalmente avremmo potuto usare anche un altro intervallo, più o meno ampio di 2 ottave ottenendo risultati diversi.

  5. Ora piazziamo le durate. Decidiamo che
    • 0 = semicroma
    • 1 = croma
    • 2 = semiminima
    • 3 = minima

    e riscaliamo la serie numerica come sopra, ma restringendola fra 0 e 3 senza decimali. Ne consegue che

    • 0, 1, 2 = 0 = semicroma
    • 3, 4, 5 = 1 = croma
    • 6, 7, 8 = 2 = semiminima
    • 9 = 3 = minima

    ottenendo la serie seguente: 0,2,0,2,0,1,1,3,2,2,2,1,3,2,3,1,2,1,2, … etc.
    In questo esempio usiamo sempre durate canoniche (non irregolari) per non avere difficoltà di scrittura. Niente però impedisce di usare anche durate irregolari, affrontando qualche problema di scrittura. P.es, usando anche la durata di una croma terzinata, potreste trovarvi una successione come: semiminima – croma terzinata – semiminima e voglio vedere come lo scrivete. Oddio, in tanti brani contemporanei si fa anche di peggio, ma in questo esempio stiamo sul semplice.

  6. Bene. A questo punto abbiamo una serie di altezze e una di durate di pari lunghezza. Decidiamo un metronomo e suoniamo. Ecco il risultato finale. Simpatico, nervosetto, un po’ alla Xenakis anche se meno complesso.

Al lettore attento non sarà sfuggita una particolarità. Usando la stessa serie di partenza per altezze e durate, la durata aumenta via via che le altezze si alzano. Per evitarlo, basta retrogradare una delle due serie risultanti. In questo esempio abbiamo retrogradato le durate.

Cambiando l’estensione, poi i risultati sono diversi. Qui le altezze sono riscalate fra 4 e 64 usando buona parte dell’estensione del piano e rendendolo praticamente insuonabile da un umano a questa velocità.
Ecco infine una sovrapposizione di quest’ultimo frammento (1-64) e del precedente (40-64 con durate in retrogrado)

Potete trovare tutto questo e fare i vostri esperimenti nel sito Musical Algorithms. Grazie a Joyello per la segnalazione.

NB: qualcuno si sarà chiesto perché non ho usato il codice MIDI per le altezze. Anche per me sarebbe stata la scelta più ovvia, ma il sito di cui sopra usa quello che vi ho mostrato e inoltre genera dei MIDIFile errati.

6 Comments
  1. Franz says:

    Se qualcuno vuole approfondire l’argomento leggendo qualcosa che per certi aspetti ha precorso i tempi vista la data di pubblicazione, 1959, consiglierei “How time passes” di K. H. Stockhausen apparso su DIE REIHE n° 3.
    Ciao a tutti!!!!

  2. Giacomo says:

    Ciao a tutti,
    interessantissimo, una domanda però a Franz: posso trovare quella pubblicazione in rete, se si hai idea dove ? Ho cercato un po’ ma trovo solo riferimenti ad essa…

    Saluti, Giacomo 🙂

  3. Mauro says:

    L’articolo originale non lo trovi in rete perché Stockhausen le sue cose le vende, ma c’è questa ottima analisi che tra l’altro è molto più chiara dell’originale

    http://www.music.princeton.edu/~ckk/smmt/index.html

  4. Franz says:

    L’articolo è recuperabile tramite la Universal Edition, in tedesco o in inglese. Se ne fai richiesta, ti verranno proposte delle fotocopie che ti verrano spedite a casa per un costo accettabile. Sono un 20ina di pagine…poco più.
    In ogni caso l’articolo al quale fa riferimento il M° Graziani, con il quale concordo, è illuminante in relazione allo scritto di Stockhausen.

  5. riccardo says:

    se usate il Mac cercate (con google ) AC toolbox (Algorithmic Composition Toolbox)di Paul Berg, un mio professore a Sonologia (L’Aia), é molto utile,
    comprende tutorials, e varie curiositá (Koening structures…) e puó generare mateiali utiulissimi (ne ho usati alcuni per alcuni pezzi per Disklavier del mio disco)…
    Credo non esista il programma per altre piattaforme da mac… purtroppo,
    ma non é detto.

  6. riccardo says:

    dimenticavo, é free AC toolbox!!!! ovviamente

  1. […] Un altro esempio di costruzione di un brano musicale a partire da metodi matematici è quello del blog di Mauro Graziani, nel quale è possibile ascoltare anche il risultato sonoro dell’operazione; nella stessa pagina […]

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